Среднее, типичный результат и случайные модели

Главный вопрос

Что именно сообщает среднее?

Если среднее изменение случайного процесса равно нулю, означает ли это, что отдельный результат обычно остаётся около начального?

К концу занятия мы научимся

различать математическое ожидание, выборочное среднее, медиану и разброс;
объяснять, почему изменения +10% и −10% не компенсируют друг друга;
задавать случайный процесс точными правилами;
проверять сгенерированную ИИ-модель простым тестом.

0–10 минут · модель 1

Случайное блуждание: центр стоит, разброс растёт

Частица начинает в точке 0. На каждом шаге она с одинаковой вероятностью перемещается на расстояние A вправо или влево. Каждое новое блуждание независимо от предыдущих.

Открыть модель случайного блуждания

Предварительный прогноз

Где окажется среднее конечное положение?
Останется ли отдельная частица около нуля?
Что изменится, если увеличить число шагов в четыре раза?

Ход эксперимента

Зададим 100 шагов и 50 повторов.
Сравним отдельные конечные положения и выборочное среднее.
Увеличим число повторов до 500–1000.
Сопоставим гистограмму с расчётной кривой.

E(X_N) = 0; √E(X_N²) = A√N

Вывод. Математическое ожидание указывает центр распределения, но не его ширину. В симметричном блуждании центр остаётся в нуле, а характерное расстояние от него растёт как √N.

Математическое ожидание — свойство заданной модели. Выборочное среднее вычисляется по конкретной серии опытов и при увеличении числа независимых повторов обычно стабилизируется около математического ожидания.

10–18 минут · модель 2

Мультипликативный процесс: внешняя симметрия обманчива

Теперь результат меняется не на постоянную величину, а на долю от текущего значения. На каждом шаге он с равными вероятностями умножается на 1,1 или на 0,9.

Открыть мультипликативную модель

100 × 1,1 × 0,9 = 99

Увеличение на 10% и последующее уменьшение на 10% не возвращают исходное значение: проценты берутся от разных оснований. Порядок этих двух шагов не важен, но их произведение равно 0,99.

Показатель	Что он описывает	Что ожидаем в модели
Математическое ожидание	Среднее по всем возможным результатам с учётом их вероятностей	Остаётся равным начальному значению
Выборочное среднее	Среднее по конечному набору смоделированных траекторий	Колеблется около математического ожидания
Медиана	Уровень, ниже и выше которого находится примерно половина результатов	Снижается с ростом числа шагов
Разброс	Насколько сильно результаты отличаются друг от друга	Увеличивается; появляется длинный правый хвост

Перед запуском

Что после 100 шагов будет ближе к 100: арифметическое среднее, медиана или большинство отдельных результатов?

Ручная проверка

Если за 100 шагов произошло ровно 50 увеличений и 50 уменьшений:

100 × 0,99⁵⁰ ≈ 60,5.

Редкие большие значения — не ошибка симуляции. Они являются частью распределения и заметно поднимают арифметическое среднее. Поэтому фраза «среднее равно 100» не означает, что отдельная траектория обычно заканчивается около 100.

18–34 минуты · самостоятельная работа

Вайб-кодинг: построение прототипа по формализованному описанию

В этой части занятия требуется не написать весь код вручную, а точно описать правила процесса, интерфейс и способ проверки. ИИ позволяет быстро получить первый вариант программы, однако корректность постановки задачи и проверка результата остаются ответственностью автора модели.

Слишком общий запрос

«Сделай красивую модель двумерного случайного блуждания».

Хороший запрос уточняет

правило одного шага;
изменяемые параметры;
способ визуализации;
контрольный тест.

Выбор варианта модели

Выберем одну из предложенных задач, передадим соответствующий промпт ИИ-помощнику и сохраним результат в виде одного автономного HTML-файла.

Вариант A · Двумерное случайное блуждание

Базовый Знакомые правила, но новая геометрия.

Создай один автономный HTML-файл с моделью двумерного случайного блуждания без внешних библиотек.

Правила: частица начинает в точке (0, 0). На каждом шаге она с равными вероятностями движется на единицу вверх, вниз, вправо или влево.

Интерфейс: поля «число шагов» и «число повторов», кнопки «Старт», «Пауза» и «Очистить». Сначала покажи одну траекторию, затем облако конечных положений всех повторов. Масштаб должен автоматически подстраиваться.

Показывай текущие координаты частицы и среднее расстояние конечных точек от начала. Все подписи сделай на русском языке.

Проверка: после одного шага расстояние от начала всегда должно быть равно 1. Добавь эту проверку в код и выведи понятное сообщение, если она не проходит.

Вариант B · Несимметричное случайное блуждание

Теория Исследуй, как небольшой перевес вероятности сдвигает распределение.

Создай один автономный HTML-файл с моделью одномерного случайного блуждания без внешних библиотек.

На каждом шаге частица идёт на 1 вправо с вероятностью p и на 1 влево с вероятностью 1 − p. Добавь настройки p, числа шагов и числа повторов.

Покажи анимацию одной траектории, гистограмму конечных положений, выборочное среднее и среднеквадратичное отклонение. Рядом выведи теоретическое среднее N(2p − 1). Все подписи сделай на русском языке.

Добавь кнопки «Старт», «Пауза» и «Очистить». Проверь три крайних случая: при p = 0,5 теоретическое среднее равно 0; при p = 1 конечное положение равно N; при p = 0 конечное положение равно −N.

Вариант C · Блуждание с памятью

Сравнение Проверь, что изменится, если следующий шаг зависит от предыдущего.

Создай один автономный HTML-файл, который сравнивает два одномерных случайных блуждания без внешних библиотек.

В первой модели направления независимы. Во второй частица продолжает движение в прежнем направлении с настраиваемой вероятностью q, а меняет направление с вероятностью 1 − q. Первый шаг выбирается случайно.

Покажи модели рядом: анимацию траекторий и гистограммы конечных положений в одном масштабе. Добавь настройки q, числа шагов и повторов. Выведи среднее и среднеквадратичное конечное отклонение для обеих моделей.

Все подписи сделай на русском языке. Контрольная проверка: при q = 0,5 результаты модели с памятью должны приближаться к результатам обычного блуждания при большом числе повторов.

Вариант D · Редкие длинные шаги

Распределение Увидь, как редкие события меняют разброс.

Создай один автономный HTML-файл для сравнения двух одномерных случайных блужданий без внешних библиотек.

Обычная модель всегда делает шаг длины 1 вправо или влево с равными вероятностями. Вторая модель обычно делает такой же шаг, но с настраиваемой малой вероятностью делает шаг длины L; направление всегда выбирается с равными вероятностями.

Добавь настройки числа шагов, повторов, вероятности длинного шага и L. Покажи гистограммы конечных положений в одинаковом масштабе. Для каждой модели выведи среднее, медиану модуля конечного положения и среднеквадратичное отклонение.

Все подписи сделай на русском языке. Контрольная проверка: при вероятности длинного шага 0 обе модели должны давать близкие результаты при большом числе повторов.

Уточняющие запросы

«Измени только масштабирование графика. Правила процесса не меняй».
«Добавь рядом расчётное значение и поясни формулу одной фразой».
«Исправь кнопку очистки: она должна сбрасывать график и все счётчики».
«Проверь формулы и перечисли использованные контрольные тесты».

Минимум готового результата

файл открывается без установки программ;
правила процесса соблюдаются;
работает хотя бы один параметр;
выполнен хотя бы один контрольный тест;
можно сформулировать хотя бы одно наблюдение и одно ограничение модели.

Важно: работающая анимация ещё не доказывает, что модель верна. Сначала проверь крайний или заранее вычисляемый случай, затем делай вывод по эксперименту.

34–38 минут · заключительная иллюстрация

Агентная модель: кто остался в наблюдаемой группе?

В модели несколько агентов делят общий ограниченный ресурс. На каждом ходу положительные и отрицательные изменения сбалансированы. Агент, который достаточно долго находится ниже медианы активной группы, выбывает и забирает свой текущий ресурс. Активный и выведенный фонды вместе остаются равны начальному фонду.

Открыть агентную модель

Объекты наблюдения

число активных агентов;
средний ресурс оставшихся;
активный и выведенный фонды;
их постоянную сумму.

Вопрос для обсуждения

Если средний ресурс активных агентов вырос, означает ли это, что вырос общий ресурс исходной группы? Кто перестал входить в вычисление этого среднего?

Ошибка выживших возникает, когда о всей исходной группе судят только по тем объектам, которые остались наблюдаемыми. Рост среднего среди оставшихся может быть следствием отбора, а не появления нового ресурса.

Правило выбытия — допущение этой модели, а не общий закон поведения людей. Его изменение может изменить результат.

38–40 минут · подведение итогов

Выходной билет

Краткий письменный ответ: 2–3 предложения

Приведём пример из рассмотренных моделей, в котором арифметическое среднее даёт неполное представление о случайном процессе. Какой дополнительный показатель следует использовать и почему?

Основной принцип: сначала необходимо установить, какая величина усредняется; затем — рассмотреть распределение, типичный результат и состав наблюдаемой группы.