Численное моделирование движения

Точное решение для движения без сопротивления воздуха известно из школьного курса механики. Поэтому рассчитанную численным методом траекторию можно сравнить с точной. Пренебрежение сопротивлением воздуха и размерами тела — это упрощения физической модели, а не ошибки расчёта.

Для данной модели существует точное аналитическое решение. Поэтому погрешность численного метода можно оценить непосредственным сравнением рассчитанного положения с аналитическим. Отсутствие сопротивления воздуха, постоянство g и пренебрежение размерами тела являются допущениями самой физической модели, а не ошибками численного вычисления.

Пусть шаг времени равен h. Явный метод Эйлера использует значения скорости и ускорения в начале шага. В данном примере ускорение постоянно, поэтому скорость вычисляется точно в моменты сетки, но вертикальная координата — с систематической ошибкой.

В каждом интервале настоящая вертикальная скорость уменьшается. Метод Эйлера считает перемещение так, как будто она оставалась равной начальному значению на протяжении всего интервала. Поэтому рассчитанная траектория оказывается выше аналитической, если использована указанная схема обновления.

Пружинный маятник состоит из груза массой m, прикреплённого к пружине жёсткостью k. Координата x отсчитывается от положения равновесия. При смещении груза пружина создаёт силу, направленную обратно к равновесию. Согласно закону Гука, её проекция равна F = −kx. Знак минус показывает противоположность направлений силы и смещения.

По второму закону Ньютона ma = F, следовательно, a = −(k/m)x. Чем дальше груз от положения равновесия, тем больше модуль ускорения, направленного к нему. Если отсутствуют трение и сопротивление, механическая энергия сохраняется: она переходит из потенциальной энергии пружины в кинетическую энергию груза и обратно.

Чтобы проследить свойства численного метода без сложных коэффициентов, в компьютерном примере используются согласованные единицы с m = 1 и k = 1. Тогда ускорение получает вид a = −x, а энергия — E = (x² + v²)/2. Это частный выбор параметров пружинного маятника, а не общий закон для любого груза и пружины.

В начале расчёта груз находится при x = 1, скорость равна нулю. У идеального маятника энергия постоянна, однако явный метод Эйлера может систематически увеличивать её. Такое изменение обусловлено способом вычисления, а не появлением дополнительной силы.

Число 1 + h² больше единицы при любом положительном шаге h. Значит, после каждого шага расчётная энергия увеличивается. Уменьшение шага замедляет этот рост, но не устраняет его полностью.

Три материальные точки взаимодействуют по закону всемирного тяготения. Ускорение каждого тела определяется положением двух остальных тел. Поскольку их положения непрерывно изменяются, система уравнений связана: траектории рассчитываются совместно, а не как три независимые задачи.

Для некоторых начальных положений и скоростей небольшое изменение исходных данных со временем приводит к заметному различию траекторий. Такое поведение называют чувствительностью к начальным условиям. Но расхождение линий на экране само по себе не доказывает это свойство: необходимо проверить, не вызвано ли оно слишком большим шагом расчёта.

Здесь F — сила притяжения двух тел, m₁ и m₂ — их массы, r — расстояние между ними, G — гравитационная постоянная. На каждое тело действуют силы притяжения двух других тел. По сумме этих сил определяется ускорение, после чего рассчитываются новые скорости и координаты всех трёх тел.

Даже если законы движения заданы точно, начальные координаты и скорости в реальном эксперименте всегда известны с ограниченной точностью. В чувствительной системе небольшие ошибки начальных измерений могут со временем привести к существенной ошибке прогноза. Это свойство самой модели, а не обязательно ошибка программы.

В анимации рассматриваются три тела одинаковой массы. Их исходное движение выбрано так, что при точных начальных данных получается траектория в форме восьмёрки. Во второй системе положение одного тела немного изменено. Обе системы рассчитываются одинаковым численным методом с одним и тем же шагом. Используется метод Верле, который хорошо подходит для расчёта движения под действием сил.

Притяжение рассчитывается по закону Ньютона без дополнительного изменения силы на малых расстояниях. Если два тела окажутся очень близко, численная ошибка может резко увеличиться. Поэтому для проверки результата необходимо повторить расчёт с меньшим шагом. Поведение одной выбранной системы нельзя переносить на все возможные движения трёх тел.

В предыдущей модели массы всех трёх тел одинаковы. Другой характерный случай возникает, когда два массивных тела образуют тесную пару, а третье тело значительно легче. При близком прохождении лёгкое тело испытывает изменяющееся притяжение сразу двух движущихся массивных тел. В результате взаимодействия энергия движения может перераспределиться между телами: лёгкое тело получает дополнительную энергию, а тяжёлая пара теряет часть своей энергии.

Если после сближения лёгкое тело удаляется от пары и его энергия относительно центра масс пары становится положительной, оно может покинуть систему. Такой исход называют гравитационным выбросом. Он зависит от взаимного расположения тел и их скоростей; различие масс само по себе не гарантирует выброса.